Este post é uma reedição de outro post meu no euromilhoes.com.

Quando jogamos apostas múltiplas, ou desdobramentos completos, a quantidade e tipo de prémio recebido é bastante maior, e mais organizada, do que se jogássemos a mesma quantidade de apostas ao calhas. Sabemos isto intuitivamente; então, como saber que e quantos prémios teremos no caso de acertarmos uma quantidade arbitrária de números?

A SCML disponibiliza umas tabelas no seu portal de jogos (aqui para o Totoloto, não existe para o Euromilhões), mas, no caso de querermos fazer apostas diferentes dos casos previstos (com desdobramentos completos), é conveniente saber como calcular.

Para começar, e como aquecimento, vamos relembrar como são calculadas as múltiplas. Como todos os jogos a partir de agora têm dois sub-jogos (no caso do Euromilhões, são as estrelas, no novo Totoloto, o número da sorte), entremos logo em linha de conta com isso.

Imaginemos que vamos jogar 7 números e as 9 estrelas, é só multiplicar as combinações de 7, 5 a 5, com as combinações de 9, 2 a 2:

$$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)=21\times 36=756$$

Agora, como calcular que prémios teremos, no caso de acertarmos uma dada quantidade de números e estrelas? Mais uma vez, a resposta está na matemática, mais concretamente nas probabilidades.

Então, qual é a probabilidade de termos, numa só chave, 2 acertos, tendo sido sorteados 5, em que sabemos que temos 2 certos e que jogámos 7? Este tipo de problema é resolvido usando um tipo de distribuição, chamada hipergeométrica (ver mais na Wikipedia):

$$P\left(X=2|\mathrm{5,2,7}\right)=\mathrm{0,47619}$$

Isto é, jogando 7 números (isto é, 21 chaves), em que acertámos 2, temos 2 acertos em cerca de 48% das chaves. Basta-nos multiplicar pelo número de chaves de números apostadas, para ficarmos com a quantidade certa de chaves com 2 acertos:

$$\mathrm{0,47619}\times 21=10$$

Fazendo o mesmo para as estrelas, tendo jogado nove (isto é, 36 apostas), em que são sorteadas duas, tendo acertado duas, em quantas chaves temos duas?

$$P\left(X=2|\mathrm{2,2,9}\right)\times 36=\mathrm{0,02778}\times 36=1$$

O que quer dizer que temos uma e só uma chave com dois acertos. Já agora, quantas chaves temos com 1 acerto?

$$P\left(X=1|\mathrm{2,2,9}\right)\times 36=\mathrm{0,38889}\times 36=14$$

Para verificarmos quantos prémios temos, basta agora multiplicar os prémios dos números pelos prémios das estrelas, neste caso os 10 acertos dos dois números com o acerto da duas estrelas e com os 14 acertos de uma estrela:

$$\begin{array}{l}{A}_{2+2}=10\times 1=10\\ A_{2+1}=10\times 14=140\end{array}$$

Sumarizando: jogando n números e e estrelas, acertando K números e L estrelas, quantos prémios temos de X+Y?

$$A_{X+Y}=\left(P\left(X=X|\mathrm{5,}K,n\right)\times \left(\begin{array}{c}n\\ 5\end{array}\right)\right)\times \left(P\left(X=Y|\mathrm{2,}L,e\right)\times \left(\begin{array}{c}e\\ 2\end{array}\right)\right)$$

Visto que a SCML não disponibiliza o quadro de prémios para múltiplas no Euromilhões, é um excelente exercício para colocar em prática toda esta teoria: Tabela de Prémios em Múltiplas – Euromilhões (Google Docs, não é necessário iniciar sessão com uma conta Google para visualizar).